De 10 apartamentos no total, há apenas 3 moradores e nenhum deseja ser síndico(a), o que fazer?

O prédio é novo, possui 10 apartamentos e apenas 3 foram vendidos. O condomínio possui uma série de melhorias a serem feitas, incluindo segurança, serviços de limpeza, manutenção e etc. Nenhum dos 3 moradores deseja ser síndico, mas o construtor exige a eleição de um para cuidar das taxas públicas. No entanto o construtor não quer contribuir com taxas de reforma, melhorias e fundo de reserva dos 7 apartamentos que ele ainda detém. Gostaria de saber, o construtor pode exigir a eleição de um síndico? Ele pode se negar a pagar taxas de obras/melhorias? Podemos legalmente esperar por novos moradores para a eleição de um síndico?