Dúvida cobrança de condomínio proporcional em locação

Prezados, cumprimento-lhes pelo auxílio antecipadamente.

Fiz a locação de um imóvel e por contrato entro no dia 20/10/2024.

O proprietário me solicitou a cobrança de condomínio “pro rata temporis”/proporcional da data de minha entrada dia 20 até o vencimento do mês seguinte da boleta condominial que é dia 10/10/2024.

Contudo, ao meu ver, o correto seria ter cobrado o proporcional até o final do mês de setembro, dia 30. Pois senão pagarei o período de 01 a 10 de outubro duas vezes.

Entendo que caso seja cobrado até o dia 10/10/2024, o momento de minha saída, sendo, por exemplo, 09/01/2025, não deverei pagar o condomínio proporcional a do mês 01(Janeiro), já que o pagamento do mês anterior me cobriria até o dia 10 do mês seguinte.

Alguém poderia me esclarecer se meu raciocínio está certo e se possível me esclarecer a fundamentação legal e contábil por trás do fato de que o condomínio é cobrado a partir da data de vencimento da boleta e não pelo mês vigente?

Desde já agradeço as respostas.